Arman Taghavi-Chabert
Arman Taghavi-Chabert
Projekt: HigherDimTwistors - Vícerozměrná twistorová teorie v jazyku parabolických geometrií
Školitel: prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc.
Hostitelská instituce: Přírodovědecká fakulta MU
Země původu: Francie
Délka projektu: 24 měsíců
Panel: Matematika
Abstrakt:
Hlavním cílem projektu je rozšířit na Masarykově univerzitě již existující silně interdisciplinární výzkum na rozhraní diferenciální geometrie, teorie reprezentací a matematické fyziky. Dr. Arman Taghavi-Chabert přichází ze známé Penroseovy skupiny v Oxfordu a jeho expertíza výborně doplňuje nedávné výsledky a běžící projekty skupiny badatelů kolem Jana Slováka, včetně přesahů ke skupinám Rikarda von Unge a Tomáše Tyce ve fyzice.
Přesněji řečeno, nedávno vytvořená teorie parabolických geometrií (Jan Slovák se spolupracovníky) se zdá být výborným nástrojem ve twistorové teorii (zejména tzv. BGG kalkul) a Dr. Arman Taghavi-Chabert představuje skvělou příležitost pro spolupráci v tomto směru. Návrh projektu je založen právě na třech různých aspektech twistorové teorie.
Prvním je úplná klasifikace skoro optických struktur v sudých dimensích, tj. Lorentzovských analogií hermiteovských struktur, a podrobné studium jejich křivostních vlastností. Budou také vypracovány konkrétní příklady a to hlavně v kontextu Einsteinových rovnic pole. Dalším směrem bude rozvoj twistorových modelů pro neabelovské Yangovy-Millsovy teorie gerbů v dimenzi šest, které jsou velmi zajímavé z pohledu teorie strun. Cílem je vytvoření gerbové Penroseovy-Wardovy transformace v tomto pojetí. Poslední, třetí směr se soustředí na konformní Killingovy spinory vyšších valencí a jejich geometrická prodlužování.
Dosavadní průběh projektu:
Tento SoMoPro projekt sestává ze dvou hlavních částí, obě ale svým způsobem využívají twistorové teorie a parabolické geometrie.
První část je věnována skoro Robinsonovým (nebo optickým) strukturám na lorentzovských sudě-rozměných varietách. Z fyzikálního pohledu mohou být popsány jako kongruence světelných paprsků společně s jejich komplexně-geometrickými vlastnostmi. V dimenzi čtyři jsou tyto kongruence bez smyku (shearfree). Jde o lorentzovské obdoby hermitovských struktur.
Původním cílem bylo v projektu získat:
Vzhledem k současnému zájmu v obecné relativitě byl výzkum přednostně zaměřen na skoro Robinsonovy struktury. Zejména bylo Dr. Armanem Taghavi-Chabertem dokázáno vícerozměrné zobecnění Goldbergovy-Sachsovy věty, což je zásadní výsledek obecné relativity, který dává do souvislosti konformní křivost a integrovatelnost skoro Robinsonovy struktury.
Ve skutečnosti dokázal Dr. Taghavi-Chabert daleko obecnější verzi Goldbergovy-Sachsovy věty, která platí pro reálné i komplexní Riemannovské variety jakékoliv signatury, které jsou vybaveny skoro izotropní strukturou, tj. (komplexní) distribucí maximálně degenerovaných podprostorů. Výsledek byl dosažen pro sudé i liché dimenze, čímž byl záměr projektu rozšířen vedle variet se sudou dimenzí i na dimenze liché.
Skoro izotropní struktury mohou být nahlíženy jako stavební kameny takových geometrií: komplexně konjugované dvojice skoro izotropních struktur definují skoro hermitovské nebo skoro Robinsonovy struktury. Proto byl projekt rozšířen tak, aby zahrnoval studium skoro izotropních struktur a jejich křivostních vlastností. To vedlo ke spinoriální klasifikaci tenzorů křivosti v libovolné dimenzi, čímž jsou zobecněny tzv. hlavní spinory zavedené Penrosem v dimenzi čtyři. Odtud je již poměrně snadné dovodit klasifikaci tenzorů křivosti jak pro skoro hermitovské tak Robinsonovy variety.
Zbývá ještě zvládnout klasifikaci přirozených tříd torzí Robinsonových struktur. Částečné výsledky v tomto směru již dosaženy byly.
Druhá část projektu je věnována Penroseově-Wardově transformaci v dimenzi šest. V této dimenzi existuje korespondence mezi dvěma komplexními kvadrikami, které mohou být ztotožněny s komplexifikovaným a kompaktifikovaným Minkowského prostorem M a jeho twistorovým prostorem PT, tj.prostorem všech samoduálních 3-rozměrných totálně izotropních lineárních podprostorů v M. Penroseova transformace dává izomorfismus mezi kosmologiemi svazků holomorfních vektorových bandlů nad jistou oblastí Z v PT a řešeními konformně invariantních diferenciálních rovnic on odpovídající oblasti X v M.
Několik případů je obzvlášť zajímavých. Jedním z nich je případ, kdy kohomologie na PTzadává 2-formu na X, jejíž vnější diferenciál je samoduální 3-forma. Taková 2-forma může být proto ztotožněna s gerbem, tj. 2-kategoriálním obdobou 1-formy konexe na vektorovém bandlu X. Konstrukce byla dobře známá v případě, kdy je strukturní grupa vektorového bandlu abelovská. Skutečným cílem projektu je však vypracování neabelovské verze takové konstrukce, tj. šestirozměrné Penroseovy-Wardovy transformace. Samotná otázka existence neabelovské kalibrační teorie je obtížná, ale Witten zformuloval hypotézu, že taková teorie bude existovat v supersymetrické konformní teorii pole, známé coby (0,2)-model..
Projekt se však zabývá i jednodušeji zvládatelnými otázkami v šestirozměrné twistorové teorii. Výzkum Dr. Taghavi-Chaberta a jeho spolupracovníků, Prof. Lionela Masona a Dr. Rona Reid-Edwardse z Oxfordu, se zaměřil na konstrukce explicitních řešení rovnic pro nehmotná pole pomocí Penroseovy transformace a metod spinorové helicity v jazyce distribučních tříd kohomologií v kontextu nehmotných polí s kladnou helicitou.
Dalším předmětem této spolupráce bylo zkoumání Xi-transformace, což je totálně reálná obdoba Penroseovy transformace navržená Sparlingem. Je šestirozměrnou variantou čtyřrozměrné X-transformace, která je dobře známá z oblasti tomografie.
Dalším směrem výzkumu Dr. Taghavi-Chaberta byla konstrukce Penroseovy transformace pro ambichirální teorie, tj. teorie pole, která zároveň zahrnuje nehmotná pole s kladnými i zápornými helicitami. Tyto výsledky budou východiskem pro další rozvoj Penroseovy transformace v kontextu konformně neinvariantních teorií pole, jako je např. šestirozměrná Yangova-Millsova teorie.
Obě větve projektu se týkají vícerozměrných zobecnění čtyřrozměrných výsledků, které mají obrovský význam v matematické fyzice. S ohledem na současné trendy v teoretické fyzice, kde právě dodatečné dimenze časoprostoru hrají zásadní roli, představuje projekt velmi originální a důležitý přínos.
Klasifikace konformních tenzorů v dimenzi čtyři hrála historicky významnou roli pro nalezení řešení Einsteinových rovnic pole a Goldbergova-Sachsova věta k tomu byla nástrojem. Zobecnění těchto idejí proto poskytne hlubší porozumění geometrii vesmíru.
Podobně, šestirozměrná twistorová teorie poskytuje účinný a elegantní formalizmus k vyjadřování konformní teorie pole. Twistorová teorie ve čtyřech dimenzích opakovaně dopomohla k výpočtům rozložení základních částic a lze oprávněně očekávat, že obdobný dopad bude mít i dimenzích vyšších.
Proto práce na SoMoPro projektu vedou Jižní Moravu do popředí základního výzkumu v dotčené oblasti.